LOGARITHMIC SOBOLEV INEQUALITIES FOR DIFFUSION MEASURES AND LARGE DEVIATIONS FOR STOCHASTIC P.D.E.
INEGALITES LOG-SOBOLEV POUR LA LOI D'UNE DIFFUSION
ET GRANDES DEVIATIONS POUR DES EDP STOCHASTIQUES
Résumé
This thesis is devoted to the study of the ergodic behavior of certain dynamical systems.
In the first part, we establish the logarithmic Sobolev inequality for the Brownian motion with drift, and more generally for elliptic diffusions, on the path space equipped with a L2 metric. This inequality provides us interesting concentration properties for the large time behavior of certains additive functionals.
In the second part, one specifies the ergodic behavior of the stochastic Burgers and Navier-Stokes equations by giving a large deviation principle for empirical measure for large time.
It describes the exponential convergence to the unique equilibrium state, when the random force is sufficiently non-degenerate.
In the first part, we establish the logarithmic Sobolev inequality for the Brownian motion with drift, and more generally for elliptic diffusions, on the path space equipped with a L2 metric. This inequality provides us interesting concentration properties for the large time behavior of certains additive functionals.
In the second part, one specifies the ergodic behavior of the stochastic Burgers and Navier-Stokes equations by giving a large deviation principle for empirical measure for large time.
It describes the exponential convergence to the unique equilibrium state, when the random force is sufficiently non-degenerate.
On s'intéresse dans cette thèse au comportement ergodique de certains systèmes dynamiques.
Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires riemanniennes muni d'une métrique L2.
Ce résultat implique des propriétés de concentration intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire.
Dans la seconde partie, on prouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques.
Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire.
Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires riemanniennes muni d'une métrique L2.
Ce résultat implique des propriétés de concentration intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire.
Dans la seconde partie, on prouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques.
Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire.
Loading...