Quelques problèmes de contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes et approximation - Thèses Université Clermont Auvergne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Controllability problems for the wave equation and numerical approximation

Quelques problèmes de contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes et approximation

Arthur Bottois
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1245641
  • IdRef : 268994838

Résumé

In this thesis, we study some exact controllability problems for the wave equation. We consider successively the following problems.A. Exact controllability for the linear wave equation with distributed control.B. Exact controllability for the linear wave equation with pointwise control.C. Exact controllability for a semi-linear wave equation with distributed control.D. Exact controllability for the linear elasticity system with boundary control.We focus particularly on the numerical approximation of the control. For each of the four problems, we develop a robust method to approximate the control. The method mainly used is based on a space-time variational approach. In the case of a time-varying control domain, the space-time aspect of the formulation allows to build discretizations adapted to the control domain.In Chapter 1, we start by recalling the main concepts for the study of the controllability of linear autonomous evolution systems. We recall in particular the duality between controllability of the state system and observability of the adjoint system, as well as the Hilbert Uniqueness Method (HUM). We then discuss some numerical methods for the approximation of the control of hyperbolic systems.In Chapter 2, we gather the main results of the thesis. These results are transcribed in a series of four articles.Article A deals with the exact controllability for the one-dimensional linear wave equation with distributed control. Furthermore, we consider non-cylindrical control domains. The article includes two main contributions. On one hand, we prove a uniform observability inequality with respect to the control domain. On the other hand, the second contribution is the theoretical and numerical analysis of the problem of optimizing the control domain.Article B deals with the exact controllability for the one-dimensional linear wave equation with pointwise control. Furthermore, we consider non-cylindrical control domains. The article includes two main contributions. On one hand, we adapt the space-time variational formulation used in Article A to the case of a pointwise control. On the other hand, the second contribution is the (mainly numerical) analysis of the problem of optimizing the control domain.Article C deals with the exact controllability for a semi-linear wave equation with distributed control. The main contribution of the article is the design of an algorithm to approximate an exact control. To do so, we introduce a least-squares functional whose zeros are precisely the exact controls of the semi-linear system. By a descent method, we then build a sequence of functions strongly converging to an exact control of the semi-linear system.Article D deals with the exact controllability for the linear elasticity system with boundary control. The main contribution of the article is the design of a algorithm to approximate the control of minimal norm. To do so, we adapt a method developed for the wave equation by rewriting the elasticity system using the velocity-constraint variables.
Dans cette thèse, on étudie quelques problèmes de contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes. On considère tour à tour les problèmes suivants.A. Contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire avec contrôle interne.B. Contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire avec contrôle ponctuel.C. Contrôlabilité exacte pour une équation des ondes semi-linéaire avec contrôle interne.D. Contrôlabilité exacte pour le système de l'élasticité linéaire avec contrôle au bord.L'accent est particulièrement mis sur l'approximation numérique du contrôle. Pour chacun des quatre problèmes, on développe une méthode robuste pour approcher le contrôle. La méthode principalement utilisée est basée sur une approche variationnelle espace-temps. Dans le cas où le support de contrôle varie au cours du temps, le caractère espace-temps de la formulation permet d'effectuer une discrétisation adaptée au support.Au Chapitre 1, on commence par rappeler certains concepts clef pour l'étude de la contrôlabilité des systèmes d'évolution linéaires et autonomes. On rappelle notamment la dualité entre contrôlabilité du système d'état et observabilité du système adjoint, ainsi que la Méthode d'Unicité de Hilbert (HUM). On évoque ensuite quelques méthodes d'approximation du contrôle pour des systèmes hyperboliques.Le Chapitre 2 regroupe les principaux résultats de la thèse sous la forme d'une compilation de quatre articles.L'Article A traite de la contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire unidimensionnelle avec contrôle interne. On autorise en outre le support de contrôle à être non cylindrique. L'article contient deux contributions principales. On démontre d'une part une inégalité d'observabilité uniforme par rapport au support de contrôle. On réalise d’autre part une analyse théorique et numérique d'un problème d'optimisation du support de contrôle.L'Article B traite de la contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes linéaire unidimensionnelle avec contrôle ponctuel. On autorise en outre le support de contrôle à être non cylindrique. L'article contient deux contributions principales. Dans un premier temps, on adapte au cas d'un contrôle ponctuel la formulation variationnelle espace-temps utilisée dans l'Article A. Dans un second temps, on réalise une analyse (essentiellement numérique) d'un problème d'optimisation du support de contrôle.L'Article C traite de la contrôlabilité exacte pour une équation des ondes semi-linéaire avec contrôle interne. La contribution principale de l'article est la mise en place d'un algorithme permettant d'approcher un contrôle exact. Pour ce faire, on introduit une fonctionnelle type moindres carrés dont les zéros sont précisément les contrôles exacts du système semi-linéaire. Par une méthode de descente, on construit alors une suite de fonctions qui converge fortement vers un contrôle exact du système semi-linéaire.L'Article D traite de la contrôlabilité exacte pour le système de l'élasticité linéaire avec contrôle au bord. La contribution principale de l'article est la mise en place d'un algorithme permettant d'approcher le contrôle de norme minimale. Pour ce faire, on adapte une méthode développée pour l'équation des ondes en réécrivant le système de l'élasticité sous forme vitesse-contrainte.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04061937 , version 1 (07-04-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04061937 , version 1

Citer

Arthur Bottois. Quelques problèmes de contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes et approximation. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université Clermont Auvergne, 2022. Français. ⟨NNT : 2022UCFAC054⟩. ⟨tel-04061937⟩
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