Bases orthonormales et calcul ombral en analyse p-adique - Thèses Université Clermont Auvergne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2006

Orthonormal bases and umbral calculus in p-adic analysis

Bases orthonormales et calcul ombral en analyse p-adique

Résumé

Let p be a prime number, Zp the ring of the p-adic integers, Qp the field of the p-adic numbers and K a complete valued field, extension of Qp. Let C(Zp,K) be the Banach algebra of continuous functions from Zp to K equipped with the supremum norm. K. Conrad has given a q-analogue of Mahler's expansion for q 2 K, |q − 1| < 1. We use the techniques of umbral calculus to establish a bijective correspondence, on one hand: between a class of continuous functions which are orthonormal q-bases and a class of linear continuous operators which commute with 1 such that 1(f)(x) = f(x + 1); on the other hand between a class of orthogonal q-bases of C(Zp,K) and a class of linear continuous operators which commute with the Jackson q-derivation. We give a realization of the quantum plane and Weyl quantum algebra of two generators, in the form of concrete operators algebras. We do some calculus of norms of these operators and exhibit an interesting orthogonal family for the quantum Weyl algebra. We provide a necessary and sufficient conditions on the coefficients of the q-expansion for a continuous function to be strictly differentiable, first when q is not a root of unity and after when q is a primitive pN-th root of unity. As an application we give a q-expansion of the Volkenborn integral.
Soient p un nombre premier, Zp l'anneau des entiers p-adiques, Qp le corps des nombres p-adiques et K un sur-corps valué complet de Qp. Soit C(Zp,K) l'algèbre de Banach des fonctions continues de Zp dans K munie de la norme de la convergence uniforme et soit q appartenant à K tel que Iq-1I<1. K. Conrad établit un q-analogue de la base de Mahler. A l'aide de ce dévelopement, utilisant les techniques de calcul ombral, nous établissons une correspondance bijective, d'un côté entre une classe de q-bases orthonormales de C(Zp,K) et une classe d'opérateurs commutant avec l'opérateur de translation r1 tel que r1(f)(x)=f(x+1) et une autre entre une classe de q-bases orthogonales de C(Zp,K) et une classe d'opérateurs commutant avec la q-dérivation de Jackson. Nous obtenons une réalisation du plan quantique et de l'algèbre de Weyl à deux générareurs sous forme concrète d'algèbres d'opérateurs. Nous faisons quelques calculs de normes de ces opérateurs et nous exhibons une famille orthogonale pour l'algèbre de Weyl quantique. Nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes sur les coefficients du développement de Conrad pour qu'une fonction continue soit strictement différentiable, d'abord lorsque q est non racine de l'unité, ensuite lorsque q est une racine primitive de l'unité d'ordre une puissance pN de p. Comme application nous donnons une q-version de l'intégrale de Volkenborn
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Dates et versions

tel-00694945 , version 1 (07-05-2012)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00694945 , version 1

Citer

Fana Tangara. Bases orthonormales et calcul ombral en analyse p-adique. Anneaux et algèbres [math.RA]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2006. Français. ⟨NNT : 2006CLF21667⟩. ⟨tel-00694945⟩
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